Second Order Moving Average Filter

Exponentielle Filter. Diese Seite beschreibt exponentielle Filterung, die einfachste und beliebteste Filter Dies ist Teil der Abschnitt Filterung, die Teil eines Leitfadens zur Fehlererkennung und Diagnose ist. Überblick, Zeitkonstante und analoges Äquivalent. Der einfachste Filter ist der exponentielle Filter Es hat nur einen Tuning-Parameter außer dem Sample-Intervall Es erfordert die Speicherung von nur einer Variablen - die vorherige Ausgabe Es ist ein IIR autoregressive Filter - die Effekte einer Eingabe ändern Zerfall exponentiell bis die Grenzen der Displays oder Computer-Arithmetik verstecken. In verschiedenen Disziplinen wird die Verwendung dieses Filters auch als exponentielle Glättung bezeichnet. In einigen Disziplinen wie Investitionsanalyse wird der Exponentialfilter als exponentiell gewichtete Moving Average EWMA oder nur Exponential Moving Average EMA bezeichnet. Dies missbraucht die traditionelle ARMA gleitende durchschnittliche Terminologie von Zeit-Serie-Analyse, da gibt es keine Eingangs-Geschichte, die verwendet wird - nur die aktuelle input. It ist die diskrete ti Ich gleichbedeutend mit der ersten Verzögerung, die üblicherweise bei der analogen Modellierung von Dauerregelungssystemen verwendet wird. In elektrischen Schaltungen ist ein RC-Filterfilter mit einem Widerstand und einem Kondensator eine Verzögerung erster Ordnung. Bei der Betonung der Analogie zu analogen Schaltungen wird der Einzelabstimmungsparameter Ist die Zeitkonstante, die gewöhnlich als Kleinbuchstabe griechischer Buchstabe Tau geschrieben wird. In der Tat entsprechen die Werte bei den diskreten Stichprobenzeiten genau der äquivalenten kontinuierlichen Zeitverzögerung mit der gleichen Zeitkonstante. Die Beziehung zwischen der digitalen Implementierung und der Zeitkonstante ist in der Gleichungen unterhalb. Exponentielle Filtergleichungen und Initialisierung. Exponentieller Filter ist eine gewichtete Kombination der vorherigen Schätzausgabe mit den neuesten Eingabedaten, wobei die Summe der Gewichte gleich 1 ist, so dass die Ausgabe dem Eingang im stationären Zustand entspricht. Nach der Filternotation Bereits eingeführt. ykay k-1 1-ax k. wo xk ist die rohe eingabe zum zeitschritt kyk ist die gefilterte ausgabe zum zeitschritt ka ist ein co Nestant zwischen 0 und 1, normalerweise zwischen 0 8 und 0 99 a-1 oder a wird manchmal die Glättungskonstante genannt. Für Systeme mit einem festen Zeitschritt T zwischen den Samples wird die Konstante a nur zur Bequemlichkeit berechnet und gespeichert, wenn der Anwendungsentwickler Spezifiziert einen neuen Wert der gewünschten Zeitkonstante. wobei ist tau die Filterzeitkonstante in den gleichen Zeiteinheiten wie T. Für Systeme mit Datenabtastung in unregelmäßigen Abständen muss die Exponentialfunktion oben mit jedem Zeitschritt verwendet werden, wobei T Ist die Zeit seit dem vorherigen Sample. Die Filterausgabe wird in der Regel initialisiert, um die erste Eingabe zu erfüllen. Wenn sich die Zeitkonstante 0 nähert, geht a auf Null, so dass keine Filterung der Ausgang gleich der neuen Eingabe ist. Wenn die Zeitkonstante sehr groß wird , Eine Annäherung 1, so dass neue Eingabe fast ignoriert wird sehr schwere Filterung. Die Filter-Gleichung oben kann in die folgenden Prädiktor-Korrektor-Äquivalent umgeordnet werden. Dieses Formular macht es deutlicher, dass die variable Schätzung Ausgang des Filters i S als unverändert von der vorherigen Schätzung y k-1 plus ein Korrekturterm auf der Grundlage der unerwarteten Innovation - die Differenz zwischen dem neuen Eingang xk und der Vorhersage y k-1 Diese Form ist auch das Ergebnis der Ableitung des Exponentialfilters als a Einfacher Spezialfall eines Kalman-Filters, der die optimale Lösung für ein Schätzproblem mit einem bestimmten Satz von Annahmen ist. Schrittreaktion. Ein Weg, um den Betrieb des exponentiellen Filters zu visualisieren ist, seine Antwort im Laufe der Zeit auf eine Stufeneingabe zu zeichnen Das ist, Beginnend mit dem Filtereingang und - ausgang bei 0 wird der Eingabewert plötzlich auf 1 geändert. Die daraus resultierenden Werte sind unten aufgetragen. Im obigen Diagramm wird die Zeit durch die Filterzeitkonstante Tau geteilt, so dass man die Ergebnisse leichter vorhersagen kann Zeitperiode für jeden Wert der Filterzeitkonstante Nach einer Zeit gleich der Zeitkonstante steigt der Filterausgang auf 63 21 seines Endwertes Nach einer Zeit gleich 2 Zeitkonstanten steigt der Wert auf 86 47 seines Endwertes Die Ausgänge nach mal gleich 3,4 und 5 Zeitkonstanten sind 95 02, 98 17 bzw. 99 33 des Endwertes. Da der Filter linear ist, bedeutet dies, dass diese Prozentsätze für jede beliebige Größe des Schritts verwendet werden können Ändern sich nicht nur für den hier eingesetzten Wert von 1. Obwohl die Stufenreaktion in der Theorie eine unendliche Zeit hat, von einem praktischen Standpunkt aus denken, gilt der exponentielle Filter als 98 bis 99 nach einer Zeit gleich 4 bis 5 Filterzeitkonstanten. Variationen auf dem exponentiellen Filter. Es gibt eine Variation des exponentiellen Filters namens nichtlineare exponentielle Filter Weber, 1980 beabsichtigt, stark zu filtern Rauschen innerhalb einer bestimmten typischen Amplitude, aber dann reagieren schneller auf größere Änderungen. Copyright 2010 - 2013, Greg Stanley. Share diese Seite. Signalverarbeitung Digitale Filter. Digital-Filter sind von essentiell abgetasteten Systemen Die Eingangs - und Ausgangssignale werden durch Samples mit gleichem Abstand dargestellt. Finite Implulse Response FIR-Filter zeichnen sich durch eine ti Ich antwort nur auf eine gegebene Anzahl der letzten Samples des Eingangssignals Anders ausgedrückt, sobald das Eingangssignal auf Null gefallen ist, wird die Filterausgabe nach einer vorgegebenen Anzahl von Abtastperioden gleich sein. Der Ausgang yk ist gegeben durch a Lineare Kombination der letzten Eingangsabtastwerte xk i. Die Koeffizienten bi geben das Gewicht für die Kombination an Sie entsprechen auch den Koeffizienten des Zählers der z-Domain-Filterübertragungsfunktion. Die folgende Abbildung zeigt einen FIR-Filter der Ordnung N 1.For Linearen Phasenfiltern sind die Koeffizientenwerte um die mittlere symmetrisch und die Verzögerungsleitung kann um diesen Mittelpunkt zurückgeklappt werden, um die Anzahl der Multiplikationen zu reduzieren. Die Übertragungsfunktion von FIR-Filtern speichert nur einen Zähler. Dies entspricht einem All - Null-Filter. FIR-Filter erfordern in der Regel hohe Aufträge, in der Größenordnung von mehreren Hunderten Also die Wahl dieser Art von Filtern benötigen eine große Menge an Hardware oder CPU Trotzdem, ein Grund t O Wählen Sie eine FIR-Filter-Implementierung ist die Fähigkeit, eine lineare Phasenreaktion zu erreichen, was in manchen Fällen eine Voraussetzung sein kann. Dennoch hat der Fiter-Designer die Möglichkeit, IIR-Filter mit einer guten Phasenlinearität im Durchlassband wie Bessel-Filter oder zu wählen Um ein Allpass-Filter zu korrigieren, um die Phasenreaktion eines Standard-IIR-Filters zu korrigieren. Moving Average Filter MA Edit. Moving Durchschnittliche MA-Modelle sind Prozessmodelle in der Form. MA-Prozesse ist eine alternative Darstellung von FIR-Filtern. Average Filter Edit. Filterberechnung Der Durchschnitt der N letzten Samples eines Signals. Es ist die einfachste Form eines FIR-Filters, wobei alle Koeffizienten gleich sind. Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters ist gegeben. Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters hat N gleich beabstandete Nullen Entlang der Frequenzachse Jedoch wird die Null bei DC durch den Pol des Filters maskiert. Daher gibt es einen größeren Lappen ein DC, das für das Filterpassband verantwortlich ist. Cascaded Integrator-Comb CIC Filter Edit. A Cas Caded Integrator-Kamm-Filter CIC ist eine spezielle Technik für die Durchführung von durchschnittlichen Filtern in Serie platziert Die Serie Platzierung der durchschnittlichen Filter erhöht die erste Lappen bei DC im Vergleich zu allen anderen Lappen. Ein CIC-Filter implementiert die Übertragungsfunktion von N durchschnittlichen Filter, jede Berechnung Der Durchschnitt der RM-Abtastwerte Seine Übertragungsfunktion ist also gegeben durch. CIC-Filter werden verwendet, um die Anzahl der Abtastwerte eines Signals um einen Faktor R zu dezimieren oder in anderen Fällen ein Signal mit einer niedrigeren Frequenz wiederzugeben und R1 wegzuwerfen Proben aus R Der Faktor M gibt an, wieviel des ersten Lappens durch das Signal verwendet wird. Die Anzahl der mittleren Filterstufen, N gibt an, wie gut andere Frequenzbänder gedämpft werden, auf Kosten einer weniger flachen Übertragungsfunktion um DC. Der CIC Struktur erlaubt es, das gesamte System mit nur Addierern und Registern zu implementieren, ohne irgendwelche Multiplikatoren zu verwenden, die gierig in Bezug auf Hardware sind. Downsampling um einen Faktor von R erlaubt es, die Signalauflösung durch log 2 R zu erhöhen R-Bits. Kanonische Filter Edit. Kanonische Filter implementieren eine Filterübertragungsfunktion mit einer Anzahl von Verzögerungselementen gleich der Filterreihenfolge, einem Multiplikator pro Zählerkoeffizienten, einem Multiplikator pro Nennerkoeffizienten und einer Reihe von Addierern. Ähnlich wie bei aktiven Filtern kanonischen Strukturen ist dies möglich Art von Schaltkreisen zeigte sich sehr empfindlich gegenüber Elementwerten Eine kleine Änderung der Koeffizienten hatte einen großen Einfluss auf die Übertragungsfunktion. Auch hier hat sich die Gestaltung von aktiven Filtern von kanonischen Filtern zu anderen Strukturen wie Ketten zweiter Ordnung abgetrennt Leapfrog-Filter. Chain of Second Order Sections Edit. A zweiter Ordnung Abschnitt oft als biquad implementiert eine zweite Ordnung Transfer-Funktion Die Übertragungsfunktion eines Filters kann in ein Produkt von Übertragungsfunktionen aufgeteilt werden, die jeweils einem Paar von Pole und möglicherweise ein Paar zugeordnet sind Von Nullen Ist die Übertragungsfunktion s Ordnung ungerade, so muss der Kette ein erster Auftrag hinzugefügt werden. Dieser Abschnitt ist assoziiert Auf die echte Pole und auf die reale Null, wenn es eine. direkt-Form 1.direkt-Form 2.direkt-Form 1 transposed. direct-Form 2 transponiert. Die Direct-Form 2 transponiert der folgenden Figur ist besonders interessant In Bezug auf die erforderliche Hardware sowie Signal - und Koeffizienten-Quantisierung. Digitaler Leapfrog-Filter Edit. Filter-Struktur Edit. Digital-Leapfrog-Filter basieren auf der Simulation von analogen aktiven Leapfrog-Filtern Der Anreiz für diese Wahl ist es, von den hervorragenden Passband-Empfindlichkeitseigenschaften der Original-Leiter-Schaltung. Der folgende 4. Ordnung All-Pol-Tiefpass-Leapfrog-Filter. Es kann als digitale Schaltung durch den Austausch der analogen Integratoren mit Akkumulatoren implementiert werden. Replacing der analogen Integratoren mit Akkumulatoren entspricht der Vereinfachung der Z-Transformation zu z 1 s T, die Sind die beiden ersten Terme der Taylor-Reihe von Zexps T Diese Näherung ist gut genug für Filter, bei denen die Abtastfrequenz viel höher ist als die Signalbandbreite. Transfer Func Bearbeiten. Die Zustandsraumdarstellung des vorangehenden Filbes kann wie folgt geschrieben werden. Aus dieser Gleichung kann man die A-, B-, C-, D-Matrizen schreiben. Aus dieser Darstellung können Signalverarbeitungswerkzeuge wie Octave oder Matlab zu zeichnen Der Filter s Frequenzgang oder um seine Nullen und Pole zu untersuchen. In der digitalen Leapfrog-Filter, die relativen Werte der Koeffizienten setzen die Form der Transfer-Funktion Butterworth Chebyshev, während ihre Amplituden setzen die Cutoff-Frequenz Dividing alle Koeffizienten um einen Faktor von zwei Verschiebt die Cutoff-Frequenz um eine Oktave auch um einen Faktor von zwei. Ein spezieller Fall ist der Buterworth 3. Filter, der Zeitkonstanten mit relativen Werten von 1, 1 2 und 1 hat. Dadurch kann dieser Filter in Hardware ohne implementiert werden Jeder Multiplikator, aber mit Verschiebungen statt. Autoregressive Filter AR Edit. Autoregressive AR Modelle sind Prozessmodelle in der Form. Wo un ist die Ausgabe des Modells, xn ist die Eingabe des Modells, und un-m sind vorher S-Samples des Modellausgabewertes Diese Filter werden autoregressiv genannt, da Ausgangswerte auf der Grundlage von Regressionen der vorherigen Ausgangswerte berechnet werden. AR-Prozesse können durch einen Allpol-Filter dargestellt werden. ARMA-Filter Edit. Autoregressive Moving-Average-ARMA-Filter sind Kombinationen von AR - und MA-Filter Der Ausgang des Filters wird als Linearkombination sowohl der gewichteten Input - als auch der gewichteten Output-Samples gegeben. ARMA-Prozesse können als digitales IIR-Filter betrachtet werden, wobei sowohl Pole als auch Nullen. AR-Filter in vielen Fällen bevorzugt sind Sie können mit den Yule-Walker-Gleichungen analysiert werden MA und ARMA-Prozesse können dagegen durch komplizierte nichtlineare Gleichungen analysiert werden, die schwer zu untersuchen und zu modellieren sind. Wenn wir einen AR-Prozess mit Tap-Weight-Koeffizienten aa vector von a haben , Eine - 1 eine Eingabe von xn und eine Ausgabe von yn können wir die yule-walker Gleichungen verwenden Wir sagen, dass x 2 die Varianz des Eingangssignals ist Wir behandeln das Eingangsdatensignal als rando M-Signal, auch wenn es ein deterministisches Signal ist, weil wir nicht wissen, was der Wert sein wird, bis wir es erhalten. Wir können die Yule-Walker-Gleichungen ausdrücken. Wo R die Kreuzkorrelationsmatrix des Prozessausgangs ist und r Ist die Autokorrelationsmatrix des Prozeßausgangs. Variance Edit. We können das zeigen. Wir können die Eingangssignalvarianz als. Or ausdrücken, erweitern und ersetzen für r 0 können wir die Ausgangsvarianz des Prozesses auf die Eingangsvarianz beziehen.2 1 Moving Average Models MA Modelle. Time-Serienmodelle, die als ARIMA-Modelle bekannt sind, können autoregressive Begriffe und gleitende durchschnittliche Ausdrücke enthalten In Woche 1 haben wir einen autoregressiven Begriff in einem Zeitreihenmodell für die Variable xt gelernt, ist ein verzögerter Wert von xt. Ein Beweis 1 autoregressiver Begriff ist x t-1 multipliziert mit einem Koeffizienten Diese Lektion definiert gleitende durchschnittliche Ausdrücke. Ein gleitender Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler, multipliziert mit einem Koeffizienten. Let wt Overset N 0, Sigma 2w, was bedeutet Die wt sind identisch, inde Pendent verteilt, jeweils mit einer Normalverteilung mit Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das 1-stufige gleitende Durchschnittsmodell, das mit MA 1 bezeichnet wird, ist. Xt mu wt theta1w. Das 2. geordnete gleitende Durchschnittsmodell, das mit MA 2 bezeichnet wird, ist. Xt mu wt theta1w theta2w. Das gängige gleitende durchschnittliche Modell, das mit MA q bezeichnet wird, ist. Xt mu wt theta1w theta2w punkte thetaq. Note Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Begriffen Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und nicht quittierten Begriffe in Formeln für ACFs und Abweichungen Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Zeichen verwendet wurden, um das geschätzte Modell R korrekt zu schreiben. R verwendet positive Zeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier sind. Die theoretischen Eigenschaften einer Zeitreihe mit Ein MA 1 Modell. Hinweis, dass der einzige Wert ungleich Null in der theoretischen ACF ist für lag 1 Alle anderen Autokorrelationen sind 0 Also ein Beispiel ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei lag 1 ist ein Indikator für eine mögliche MA 1 Modell. Für interessierte Studenten, Beweise dieser Eigenschaften sind ein Anhang zu diesem Handout. Beispiel 1 Angenommen, dass ein MA 1 - Modell xt 10 wt 7 w t-1 ist, wo wt Overset N 0,1 Somit ist der Koeffizient 1 0 7 Th E theoretische ACF ist gegeben durch eine Handlung dieses ACF folgt. Die eben dargestellte Kurve ist die theoretische ACF für eine MA 1 mit 1 0 7 In der Praxis, eine Probe gewonnen t in der Regel bieten ein solches klares Muster Mit R, simulierten wir n 100 Sample-Werte mit dem Modell xt 10 wt 7 w t-1 wobei w t. iid N 0,1 Für diese Simulation folgt ein Zeitreihen-Plot der Sample-Daten. Wir können aus dieser Handlung viel erzählen. Die Probe ACF für die simulierte Daten folgt Wir sehen einen Spike bei Verzögerung 1, gefolgt von allgemein nicht signifikanten Werten für Verzögerungen nach 1. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster des zugrunde liegenden MA 1 übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für die Verzögerungen nach 1 0 sind Eine andere Probe würde eine etwas andere Probe ACF unten gezeigt haben, würde aber wahrscheinlich die gleichen breiten Features haben. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA 2 Modell. Für das MA 2 Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden. Hinweis, dass die nur ungleich Null Werte in der theoretischen ACF sind für Verzögerungen 1 und 2 Autokorrelat Ionen für höhere Verzögerungen sind 0 Also, eine Stichprobe ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei Verzögerungen 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Verzögerungen zeigt ein mögliches MA 2 Modell an. ND Die Koeffizienten sind 1 0 5 und 2 0 3 Da es sich hierbei um einen MA 2 handelt, hat der theoretische ACF nur ungleich Null-Werte nur bei Verzögerungen 1 und 2.Values ​​der beiden Nicht-Null-Autokorrelationen sind. Ein Diagramm der theoretischen ACF folgt. Wie fast immer der Fall ist, haben sich die Beispieldaten nicht gut verhalten So perfekt als Theorie Wir simulierten n 150 Sample-Werte für das Modell xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 wobei w t. iid N 0,1 Die Zeitreihen-Plot der Daten folgt Wie bei der Zeitreihen-Plot für Die MA 1 Beispieldaten, können Sie t viel davon erzählen. Die Probe ACF für die simulierten Daten folgt Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA 2 - Modell nützlich sein kann Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei den Verzögerungen 1 und 2 gefolgt von Nicht - signifikante Werte für andere Verzögerungen Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF aufgrund des Stichprobenfehlers nicht übereinstimmt Das theoretische Muster genau. ACF für General MA q Modelle. Eigenschaft von MA q-Modelle im Allgemeinen ist, dass es keine Null-Autokorrelationen für die ersten q Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen q. Non-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen den Werten von 1 und rho1 In MA 1 Modell Im MA 1 Modell, für jeden Wert von 1 der reziproke 1 1 gibt den gleichen Wert für. Als Beispiel, verwenden Sie 0 5 für 1 und verwenden Sie dann 1 0 5 2 für 1 Sie erhalten rho1 0 4 In beiden Fällen. Um eine theoretische Einschränkung als Invertierbarkeit zu befriedigen, beschränken wir MA 1 - Modelle, um Werte mit einem absoluten Wert kleiner als 1 zu haben. In dem gerade angegebenen Beispiel ist 1 0 5 ein zulässiger Parameterwert, wohingegen 1 1 0 5 2 nicht. Invertierbarkeit von MA-Modellen. Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einem konvergierenden unendlichen Ordnungs-AR-Modell ist. Durch Konvergenz bedeutet das, dass die AR-Koeffizienten auf 0 abnehmen, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen. Unverträglichkeit ist eine eingeschränkte Einschränkung Zeitreihen-Software zur Schätzung des Koeffizienten Icients von Modellen mit MA-Begriffen Es ist nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Weitere Informationen über die Invertierbarkeitsbeschränkung für MA 1-Modelle finden Sie im Anhang. Advanced Theory Note Für ein MA q - Modell mit einem angegebenen ACF gibt es nur Ein invertierbares Modell Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, dass die Koeffizienten Werte haben, so dass die Gleichung 1- 1 y - - qyq 0 Lösungen für y hat, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R Code für die Beispiele In Beispiel 1 haben wir die Theoretische ACF des Modells xt 10 wt 7w t-1 und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotten die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten Die R-Befehle verwendet, um die theoretische ACF wurden. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 Verzögerungen von ACF für MA 1 mit theta1 0 7 Verzögerungen 0 10 erzeugt eine Variable namens Lags, die von 0 bis 10 Plot Lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, Typ h, main ACF für MA 1 reicht Mit theta1 0 7 abline h 0 fügt eine horizontale Achse zum Plot hinzu E erster Befehl bestimmt die ACF und speichert sie in einem Objekt namens acfma1 unsere Wahl des Namens. Der Handlungsbefehl der 3. Befehls-Plots verzögert gegenüber den ACF-Werten für die Verzögerungen 1 bis 10 Der ylab-Parameter markiert die y-Achse und der Hauptparameter setzt einen Titel auf dem Plot. Um die numerischen Werte des ACF zu sehen, benutzen Sie einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und Plots wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. List ma c 0 7 Simuliert n 150 Werte aus MA 1 x xc 10 fügt 10 hinzu, um Mittel zu machen 10 Simulationsvorgaben bedeuten 0 Plot x, Typ b, Haupt Simuliert MA 1 Daten acf x, xlim c 1,10, Haupt-ACF für simuliert Beispieldaten In Beispiel 2 haben wir die theoretische ACF des Modells xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 aufgetragen und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und die Sample-Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten aufgetragen Daten Die verwendeten R-Befehle waren. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2-Verzögerungen 0 10 Plot-Verzögerungen, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, Typ h, Haupt-ACF für MA 2 mit theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 list ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, Typ b, main Simuliert MA 2 Serie acf x, xlim c 1,10, Haupt-ACF für simulierte MA 2 Daten. Appendix Nachweis der Eigenschaften von MA 1 Für interessierte Schüler sind hier Beweise für die theoretischen Eigenschaften des MA 1 Modells. Variante Text xt Text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2w. Wenn h 1, der vorherige ausdruck 1 W 2 Für jedes h 2 , Der vorhergehende Ausdruck 0 Der Grund dafür ist, dass durch die Definition der Unabhängigkeit der wt E wkwj 0 für irgendwelche kj Weiter, weil die wt haben Mittelwert 0, E wjwj E wj 2 w 2.For eine Zeitreihe. Apply dieses Ergebnis zu bekommen Die ACF, die oben gegeben wurde. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als ein unendliches Auftrags-AR-Modell geschrieben werden kann, das konvergiert, so dass die AR-Koeffizienten zu 0 konvergieren, wenn wir uns unendlich zurück in der Zeit bewegen. Wir zeigen die Invertierbarkeit für das MA 1-Modell Ersatzbeziehung 2 für wt-1 in Gleichung 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. Die Zeit t-2 Gleichung 2 wird. Wir ersetzen dann die Beziehung 4 für w t-2 in Gleichung 3. zt wt Theta1z - theta1w wt theta1z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Wenn wir unendlich weitergehen wollten, würden wir das unendliche AR-Modell bekommen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z dots. Hinweis jedoch, dass wenn 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z multiplizieren, unendlich an Größe zunehmen werden, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen Um dies zu verhindern, brauchen wir 1 1 Dies ist Die Bedingung für ein invertierbares MA 1 Modell. Unendliche Ordnung MA Modell. In Woche 3 sehen wir, dass ein AR 1 Modell in ein unendliches Auftrag MA Modell umgewandelt werden kann. Xt - mu wt phi1w phi 21w punkte phi k1 w punkte sum phi j1w. Diese Summierung der vergangenen weißen Rauschbegriffe ist als die kausale Darstellung eines AR 1 bekannt. Mit anderen Worten, xt ist ein spezieller Typ von MA mit unendlich vielen Terme Rückkehr in der Zeit Dies ist eine unendliche Ordnung MA oder MA Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Recall in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Voraussetzung für eine stationäre AR 1 ist, dass 1 1 Sei s berechnen die Var xt mit der Kausaldarstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine grundlegende Tatsache über geometrische Serien, die phi1 erfordert 1 sonst die Serie divergiert.